Một trong những người hùng vĩ đại trong phân tích trò chơi casino là
Edward O. Thorp. Ông được biết đến nhiều nhất với công trình tiên phong của mình,
Beat the Dealer, được xuất bản lần đầu vào năm 1962. Hơn 50 năm sau, cuốn sách này vẫn nằm trong top năm cuốn sách bán chạy nhất về blackjack trên Amazon. Điều không được nhiều người biết đến là Thorp cũng đã công bố một bài nghiên cứu, với đồng tác giả William E. Walden, về cách đánh bại hai cược bên trong trò baccara. Bài báo của họ có tiêu đề

A Favorable Side Bet in Nevada Baccarat

(Tạp chí Hiệp hội Thống kê Hoa Kỳ, Tập 61, Số 314, trang 313-328). Bài báo đầy đủ
có sẵn dưới định dạng pdf. Các cược bên mà Thorp và Walden phân tích trong bài báo của họ là những đề xuất rằng tay của Người Chơi hoặc tay của Ngân hàng sẽ là một 8 tự nhiên hoặc 9 tự nhiên. Bất kỳ độc giả nào đọc blog này sẽ ngay lập tức nhận ra mức độ cao của khả năng tính toán của những cược này.


Như Thorp và Walden đã nói (trang 317):

Một có thể cược rằng Ngân hàng có 9 tự nhiên. Một cũng có thể cược rằng Ngân hàng có 8 tự nhiên. Những cược tương tự đôi khi cũng có thể được thực hiện với Người Chơi. Các cược bên này mỗi cược trả 9 ăn 1 (tương đương 10 ăn 1). Đối với tám bộ bài hoàn chỉnh, xác suất có 9 tự nhiên là 0.09490, với lợi thế nhà cái là 5.10 phần trăm. Đối với tám bộ bài hoàn chỉnh, xác suất có 8 tự nhiên là 0.09453, với lợi thế nhà cái là 5.47 phần trăm.

Bảng dưới đây cung cấp phân tích tổ hợp cho cược 9 tự nhiên:


In particular:

• 
  Lợi thế của nhà cái là 5.097%.
  
• 
  Độ lệch chuẩn là 2.932.
  
• 
  Tần suất thắng là 9.490%.
  

Bảng dưới đây cung cấp phân tích tổ hợp cho cược 8 tự nhiên:

In particular:

• 
  Lợi thế của nhà cái là 5.468%.
  
• 
  Độ lệch chuẩn là 2.927.
  
• 
  Tần suất thắng là 9.453%.
  

Ở trang 317, Thorp và Walden tuyên bố:

Giả sử n là số lượng thẻ trong bộ bài chưa được sử dụng trong trò chơi. Giả sử t biểu thị số lượng thẻ n có giá trị là chín. Giả sử rằng n – t thẻ còn lại đã được chọn ngẫu nhiên từ 384 thẻ không phải chín ban đầu trong tám bộ bài hoàn chỉnh.

Từ tuyên bố này và các tài liệu đã trích dẫn trước đó, chúng ta biết các cụ thể sau về cách Thorp và Walden tiếp cận việc tính toán các cược bên này:

• 
  Tất cả các cược bên đều trả 9 ăn 1 cho một cược thắng.
  
• 
  Tám bộ bài đã được sử dụng trong phân tích của họ.
  
• 
  Hệ thống mà họ tạo ra liên quan đến việc xem xét mật độ của thẻ chính cho cược đó (tám hoặc chín) như một phần của tất cả các thẻ chưa được sử dụng.
  

Ở trang 326, họ tuyên bố:

… Chiến lược cuối cùng của chúng tôi là đếm tổng số thẻ n, số lượng t của chín, và số lượng s của tám. Tính tỷ lệ n/t và sử dụng phân số … cho các 9 tự nhiên. Tính tỷ lệ n/s và sử dụng phân số … cho các 8 tự nhiên.

Phương pháp này nên trông rất quen thuộc với độc giả. Sử dụng một khuôn khổ chưa tồn tại vào thời điểm bài báo này được xuất bản vào năm 1966, những gì Thorp và Walden khuyến nghị là sử dụng các hệ thống tính toán thẻ sau đây để xác định khi nào nên đặt cược:

Đối với cược bên 9 tự nhiên, dùng (1,1,1,1,1,1,1,1,-12,1), tức là:

• 
  9 = -12
  
• 
  Tất cả những cái khác = +1
  

Đối với cược bên 8 tự nhiên, dùng (1,1,1,1,1,1,1,-12,1,1), tức là:

• 
  8 = -12
  
• 
  Tất cả những cái khác = + 1
  

Khi xem xét các cược bên 9 tự nhiên của Người Chơi/Ngân hàng, Thorp và Walden kết luận rằng (trang 318, 319):

Giả sử N’ là tổng số thẻ không được sử dụng trong trò chơi, tức là N’ là tổng số thẻ bị đốt chưa thấy và các thẻ còn lại trong bộ bài khi nhà cái quyết định xáo trộn … Chúng tôi định nghĩa N = N’ + 4 … Hóa ra khi N khá nhỏ, khoảng 20 hoặc 30, các cược bên có lợi có thể được đặt khoảng 20 phần trăm thời gian. Lợi thế trên (kỳ vọng toán học của) các cược bên này lên tới 89 phần trăm khi N là 20.

Nói chung, họ đang nói rằng nếu thẻ cắt được đặt ở 20 thẻ, thì tần suất cược khoảng 20% và lợi thế có thể lên tới 89%. Họ thừa nhận đã sử dụng một “máy tính tốc độ cao,” nhưng so với thời hiện đại, các giá trị cuối cùng của họ là rất thô.

Thorp và Walden đã dành một phần lớn bài báo để điều tra các cược với độ rủi ro thấp trên những cược bên này. Tức là, họ giả định rằng họ sẽ chơi với một quỹ vốn tương đối nhỏ, và xác định kích thước cược hợp lý. Mục tiêu của cuộc thảo luận này là để chỉ ra kích thước cược đúng dựa trên số đếm hiện tại và vị trí qua bộ bài mà cho phương pháp tối ưu để gấp đôi quỹ vốn ban đầu.

Trong thời hiện đại, bất kỳ AP nghiêm túc nào cũng không có lo ngại về quỹ vốn khi đếm các cược bên. Các cược tối đa được phép trên các cược bên đơn giản là quá nhỏ so với quỹ vốn của họ, vì vậy phân tích như vậy là không cần thiết. Nếu Thorp và Walden là các thành viên của đội AP hiện đại, họ có thể đã bỏ qua toàn bộ cuộc thảo luận này.

Ở trang 326, Thorp và Walden đã tuyên bố,

Một chương trình máy tính đã được viết để mô phỏng người chơi của Nevada Baccarat. Nó xác nhận rằng hệ thống là hợp lệ, và rằng một sự thử nghiệm trong casino là hợp lý… Hệ thống đã được thử nghiệm thành công trong các casino. Chúng tôi đã nghiên cứu các cược bên trong hai casino cụ thể, mà chúng tôi gọi là casino A và B. Tại casino A, giới hạn đặt cược chính từ $5 đến $2000. Cược vào các cược tự nhiên dao động từ $5 đến $200 đối với tự nhiên 8 và thêm $5 đến $200 vào tự nhiên 9. Cược vào bất kỳ tự nhiên nào có thể được chia giữa Người Chơi và Ngân hàng theo tỷ lệ mong muốn. Tại casino B, giới hạn đặt cược chính từ $20 đến $2000 và chỉ có cược vào các cược tự nhiên của Ngân hàng mới được phép. Các giới hạn là $20 đến $200 cho mỗi cược tự nhiên của Ngân hàng… Một vốn ban đầu là $4000 đã được sử dụng tại casino A và vốn ban đầu là $20,000 đã được sử dụng tại casino B.

Thực tế là họ tuyên bố đã thành công có nghĩa là tổng lợi nhuận của họ ít nhất là $24,000 khi chơi chống lại hai cược bên này, một số tiền khổng lồ vào năm 1966. So sánh, mức lương khởi điểm của tôi với tư cách là trợ lý giáo sư Toán học là $22,000 vào năm 1983.

Vào thời điểm bài báo nghiên cứu của họ được công bố, khái niệm về đếm thực và các thẻ đếm chưa được phát triển. Ngày nay, lợi thế mà Thorp và Walden xác định là rất dễ đạt được trong thực tế. Tôi đã hoàn thành nghiên cứu và sẽ công bố trong bài viết tiếp theo của mình. Trong bài viết này, tôi sẽ cung cấp các số đếm thực kích hoạt, tần suất cược, lợi thế trung bình và lợi nhuận trên 100 ván. Đây là các chỉ số mà Thorp và Walden đã gợi ý, nhưng không có đủ sức mạnh tính toán để xác định.

Tôi không biết ai đã theo dõi bài viết của Thorp theo cách này, ít nhất là không công khai. Điều rõ ràng là Thorp và Walden đã đi trước thời đại hàng thập kỷ trong việc nhắm mục tiêu có hệ thống vào một cược bên. Họ không chỉ thực hiện nghiên cứu mà còn chứng minh nó tại các bàn chơi.

Bởi vì việc Thorp xuất bản “Beat the Dealer” vào năm 1962, các casino đã hoảng sợ về các người đếm thẻ blackjack. Những hậu quả từ cuốn sách ban đầu của Thorp về việc đếm thẻ gần như chưa bao giờ giảm đi trong 50 năm qua. Quy tắc “không được vào giữa ván” và việc đặt thẻ cắt nông là di sản tốn kém của nó. Trong khi đó, Thorp nhanh chóng chuyển sang. Trong sự hỗn loạn mà theo sau việc xuất bản cuốn sách của mình, Thorp đã bận rộn nghiên cứu cách ông có thể áp dụng cùng phương pháp cho các trò chơi khác. Việc Thorp công bố cả nghiên cứu của mình về việc đánh bại blackjack và sau đó là nghiên cứu về việc đánh bại một cược bên trong baccara thể hiện cam kết của ông đối với nền tảng học thuật của mình. Đơn giản là không đủ khi chỉ phát hiện ra điều gì đó đúng, việc công bố các phát hiện quan trọng là điều bắt buộc. Nhiệm vụ học thuật là kiến thức phục vụ cho lợi ích lớn nhất của công chúng.

Edward O. Thorp là một nguồn cảm hứng thực sự.